Số chính phương là gì? Tính chất số chính phương, dạng bài tập từ A – Z

Theo khảo sát thực tế của chúng tôi, nhiều học sinh ngày nay không biết Hình vuông hoàn chỉnh là gì? Hoặc không thể chứng minh đó là một hình vuông hoàn hảo. Vì vậy, trong bài viết dưới đây, Sharp Electronics Việt Nam sẽ chia sẻ lý thuyết về số bình phương là gì? Các thuộc tính của hình vuông hoàn hảo và thông lệ về hình vuông phổ biến được giải thích chi tiết để bạn tham khảo

Hình vuông hoàn hảo là gì?

Số bình phương, còn được gọi là số bình phương, là một số tự nhiên có căn bậc hai là số tự nhiên hoặc bình phương bằng bình phương của số tự nhiên (lũy thừa của 2). Hình vuông biểu diễn diện tích hình vuông có các cạnh bằng các số tự nhiên.

Bạn đang xem: Tính chất của số chính phương

Có hai dạng chính của số bình phương:

• Hình vuông chẵn là hình vuông của một số chẵn. Ví dụ: 4, 16, 36 … là hình vuông chẵn.
• Hình vuông lẻ là hình vuông của một số lẻ. Ví dụ: 9, 49, 81 … là một hình vuông hoàn hảo lẻ.

Thuộc tính của hình vuông

• Một hình vuông hoàn hảo kết thúc bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9. Nếu số kết thúc bằng 2, 3, 7, 8, nó không phải là một hình vuông hoàn hảo.
• Một hình vuông hoàn hảo chỉ có thể có một trong 2 dạng: 4n hoặc 4n + 1, không có hình vuông hoàn hảo nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (với n € n).
• Một hình vuông hoàn hảo chỉ có thể có một trong 2 dạng: 3n hoặc 3n + 1, không có hình vuông hoàn hảo nào có dạng 3n + 2 (với n € n).
• Khi tính toán các số nguyên tố, một hình vuông hoàn hảo chỉ chứa các số nguyên tố với số mũ chẵn.
• Đối với các số bình phương kết thúc bằng 1 hoặc 9, hàng chục là số chẵn.
• Nếu một hình vuông hoàn hảo kết thúc bằng chữ số 5 thì chữ số hàng chục là 2.
• Đối với một hình vuông hoàn hảo kết thúc bằng 4, chữ số hàng chục là chẵn.
• Đối với một hình vuông hoàn hảo kết thúc bằng 6, chữ số hàng chục là số lẻ.
• Một hình vuông hoàn hảo chia hết cho 2 cũng chia hết cho 4.
• Một hình vuông hoàn hảo chia hết cho 3 cũng chia hết cho 9.
• Một hình vuông hoàn hảo chia hết cho 5 cũng chia hết cho 25.
• Một hình vuông hoàn hảo chia hết cho 8 cũng chia hết cho 16.
• Một hình vuông hoàn hảo chia cho 3 sẽ không bao giờ có phần dư là 2; một phép chia cho 4 sẽ không bao giờ để lại phần dư là 2 hoặc 3; một hình vuông hoàn hảo chia cho 8 sẽ luôn có phần dư là 0 hoặc 1 hoặc 4.
• Công thức tính hiệu của hai bình phương hoàn hảo: a2 – b2 = (a – b) (a + b).
• Ước số nguyên dương của một hình vuông là số lẻ.
• Một hình vuông hoàn hảo chia hết cho p nguyên tố cũng chia hết cho p2.
• Tất cả các hình vuông hoàn hảo có thể được viết dưới dạng tổng các số lẻ, tăng từ 1: 1; 1 + 3; 1 + 3 + 5; 1 + 3 + 5 + 7; 1 + 3 + 5 + 7 + 9; …… Và nhiều hơn nữa.

Tham khảo:

• Số vô tỉ là gì? Sự khác biệt giữa số vô lý và số hợp lý 100% tiêu chuẩn
• Số hữu tỉ là gì? Các dạng bài tập và giải số hữu tỉ cho a – z
• Hệ số nhân là gì? Thuộc tính, công thức tính chỉ số chuẩn 100%

Thực hành khối

Dạng 1: Chứng minh rằng một số là một bình phương hoàn hảo hoặc tổng của nhiều bình phương hoàn hảo.

Phương pháp : Để chứng minh rằng một số n là một bình phương hoàn hảo, chúng ta thường dựa vào định nghĩa, tức là để chứng minh: n = k2 (k ∈ z)

Ví dụ 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y là:

a = (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) + y4 là một hình vuông hoàn hảo.

Giải pháp

Ta có a = (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) + y4

= (x2 + 5xy + 4y2) (x2 + 5xy + 6y2) + y4

Cho x2 + 5xy + 5y2 = t (t ∈ z) thì

a = (t – y2) (t + y2) + y4 = t2 – y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2) 2

Vì x, y, z ∈ z, x2 ∈ z, 5xy ∈ z, 5y2 ∈ z => (x2 + 5xy + 5y2) z

Vì vậy, a là một hình vuông hoàn hảo.

Ví dụ 2: Cho b = 1.2.3 + 2.3.4 +… + k k + 1 k + 2 với k là số tự nhiên. Chứng minh rằng 4b + 1 là một hình vuông hoàn hảo

Giải pháp:

Chúng ta thấy rằng biểu thức b là tổng của các biểu thức mà chúng ta nghĩ rằng trước tiên phải rút gọn biểu thức b

Chúng tôi có:





Vì k ∈ n nên k2 + 3k + 1 ∈ n. Vì vậy, 4b + 1 là một hình vuông hoàn hảo

Ví dụ 3: Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là một bình phương hoàn hảo.

Giải pháp:

Tham khảo: Ý nghĩa tên Khả Hân chi tiết nhất, tính cách, vận mệnh bé gái

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n, n + 1, n + 2, n + 3 (n ∈ z). Chúng tôi có:

n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 = n. (n + 3) (n + 1) (n + 2) + 1

= (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + 1 (*)

Cho n2 + 3n = t (t ∈ n) thì (*) = t (t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1) 2

= (n2 + 3n + 1) 2

n2 + 3n + 1 ∈ n vì n ∈ n. Vậy n (n + 1) (n + 2) (+ 3) + 1 là một hình vuông hoàn hảo.

Dạng 2: Đánh giá biến để biểu thức là một khối lập phương

Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n sao cho số sau là hình vuông hoàn hảo

a) n2 + 2n + 12

b) n (n + 3)

c) 13n + 3

d) n2 + n + 1589

Giải pháp:

a) Vì n2 + 2n + 12 là một hình vuông hoàn hảo nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k ∊ n)

(n2 + 2n + 1) + 11 = k2

⇔ k2 – (n + 1) 2 = 11

⇔ (k + n + 1) (k – n – 1) = 11

Nhận xét thấy rằng k + n + 1 & gt; k – n – 1 là một số nguyên dương, vì vậy chúng tôi có thể viết nó là

(k + n + 1) (k – n – 1) = 11,1

b) Cho n (n + 3) = a2 (n ∊ n)

⇒ n2 + 3n = a2

⇔ 4n2 + 12n = 4a2

⇔ (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2

⇔ (2n + 3) 2 – 4a2 = 9

Tham khảo: Văn mẫu lớp 11: Tổng hợp những kết bài về bài thơ Tràng Giang của Huy Cận (47 mẫu) Kết bài Tràng Giang của Huy Cận

⇔ (2n + 3 + 2a). (2n + 3 – 2a) = 9

Nhận xét thấy rằng 2n + 3 + 2a & gt; 2n + 3 – 2a là các số nguyên dương, vì vậy chúng ta có thể viết (2n + 3 + 2a) (2n + 3 – 2a) = 9,1

c) Đặt 13n + 3 = y2 (y ∊ n)

⇒ 13 (n – 1) = y2 – 16

⇔ 13 (n – 1) = (y + 4) (y – 4)

⇒ (y + 4) (y – 4) chia hết cho 13 là số nguyên tố nên y + 4 chia hết cho 13 hoặc y – 4 chia hết cho 13

⇒ y = 13k ± 4 (với k n)

⇒ 13 (n – 1) = (13k ± 4) 2 – 16 = 13k. (13k ± 8) = 13k2 ± 8k + 1

Vậy n = 13k2 ± 8k + 1 (trong đó k ∊ n) thì 13n + 3 là một hình vuông hoàn hảo

d) Cho n2 + n + 1589 = m2 (m ∊ n)

⇒ (4n2 + 1) 2 + 6355 = 4m2

⇔ (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355

Lưu ý 2m + 2n + 1> 2m – 2n – 1> 0, chúng là số lẻ, vì vậy chúng ta có thể viết

(2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355,1 = 1271,5 = 205,31 = 155,41

Suy ra rằng n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28

Dạng 3: Tìm hình vuông hoàn hảo

Ví dụ: a là một hình vuông hoàn hảo có 4 chữ số. Thêm một đơn vị vào mỗi chữ số của a và ta được bình phương của b. Yêu cầu: tìm a và b.

Giải pháp



Dạng 4: Chứng minh rằng một số không phải là một hình vuông hoàn hảo

Ví dụ: Chứng minh rằng 1234567890 không phải là một hình vuông hoàn hảo.

Giải pháp:

Số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90).

Vì vậy, số 1234567890 không phải là một hình vuông hoàn hảo.

Hy vọng rằng việc hiểu được hình vuông hoàn hảo là gì và các tính chất của số bình phương có thể giúp bạn áp dụng nó vào thực tế của mình. Ngoài ra, có thể tham khảo thêm mức phụ gia là gì? Công thức số học và bài tập có lời giải: https://kyniemsharp10nam.vn/tu-van-dich-vu/cap-so-cong/

Xem thêm: Đặt tên con gái chữ T: 101 Tên ấn tượng nhất 2022, lưu lại ngay mẹ ơi!