Trong bài giảng này, tôi sẽ chia sẻ với các bạn cách tính đạo hàm của một hàm số mũ. Tuy nhiên, trong ví dụ sau, chúng ta không chỉ áp dụng đạo hàm của hàm số mũ mà còn cả đạo hàm của hàm lũy thừa, đạo hàm của hàm phân số, hàm lượng giác …
Công thức tính đạo hàm của hàm số mũ
1. $ (a ^ x) ‘= a ^ x.lna $ 2. $ (a ^ u)’ = u’.a ^ u.lna $ 3. $ (e ^ x) ‘= e ^ x $ 4. $ ( e ^ u) ‘= u’.e ^ u $ 5. $ (x ^ { alpha})’ = alpha .x ^ {{ alpha} -1} $ 6. $ (u ^ { alpha}) ‘= alpha .u’.u ^ {{ alpha} -1} $
Bạn đang xem: đạo hàm của hàm mũ
Xem thêm các bài giảng:
- Cách tính đạo hàm của hàm số logarit
- Cách tính đạo hàm của hàm gốc
- Cách tính đạo hàm của một hàm tổng hợp
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số mũ sau:
A. $ y = (x ^ 2 + 1) .2 ^ {2x} $ b. $ y = e ^ { sqrt {x}}. sin ^ 2x $ c. $ y = dfrac {e ^ {2x} -e ^ {- 2x}} {x} $ d. $ y = 3. (x ^ 2 + x + 2) .e ^ {3x} $ e. $ y = 2 ^ {1-2x} $ f. $ y = e ^ {2x + x ^ 2} $
Nguyên tắc:
A. $ y = (x ^ 2 + 1) .e ^ {2x} $
là một hàm có dạng tích của một hàm đa thức và một hàm mũ. Vì vậy ngoài việc áp dụng đạo hàm của hàm số mũ, chúng ta cũng cần sử dụng đạo hàm của tích và đạo hàm của hàm lũy thừa.
Ta có: $ y = (x ^ 2 + 1) .2 ^ {2x} $
=> $ y ‘= (x ^ 2 + 1)’. 2 ^ {2x} + (x ^ 2 + 1). (2 ^ {2x}) ‘$ (sử dụng đạo hàm $ a ^ u $ )
=> $ y ‘= 2x. 2 ^ {2x} + (x ^ 2 + 1). (2x) ‘. 2 ^ {2x} .ln2 $
=> $ y ‘= 2x. 2 ^ {2x} + (x ^ 2 + 1) .2. 2 ^ {2x} .ln2 $
b. $ y = e ^ { sqrt {x}}. sin ^ 2x $
là một hàm ở dạng tích, bao gồm hàm số mũ và hàm số lượng giác. Vì vậy với hàm này, bạn cũng phải sử dụng rất nhiều công thức tính đạo hàm.
Nếu muốn tìm hiểu thêm và nắm vững công thức tính đạo hàm lượng giác, bạn có thể xem bài giảng: Cách tính đạo hàm của hàm số lượng giác
Xem thêm: Thì tương lai đơn – Lý thuyết, dấu hiệu và bài tập
Chúng tôi có:
$ y = e ^ { sqrt {x}}. sin ^ 2x = e ^ { sqrt {x}}. (sinx) ^ 2 $
=> $ y ‘= (e ^ { sqrt {x}})’. (sinx) ^ 2 + e ^ { sqrt {x}}. [(sinx) ^ 2] ‘$ (sử dụng các dẫn xuất $ e ^ u $ và $ u ^ { alpha} $)
=> $ y ‘= ( sqrt {x})’. e ^ { sqrt {x}}. (sinx) ^ 2 + e ^ { sqrt {x}}. 2. (sinx) ‘. sinx $
= & gt; $ y ‘= dfrac {1} {2 sqrt {x}}. e ^ { sqrt {x}}. sin ^ 2x + 2.e ^ { sqrt {x}}. cosx.sinx $
c. $ y = dfrac {e ^ {2x} -e ^ {- 2x}} {x} $
Đây là một hàm ở dạng một hàm phân số có tử số chứa số mũ. Vì vậy, bạn cần sử dụng đạo hàm của hàm thập phân và công thức:
$ dfrac {u} {v} = dfrac {u’.v-u.v ‘} {v ^ 2} $
Xem thêm: Thì tương lai đơn – Lý thuyết, dấu hiệu và bài tập
Chúng tôi có:
$ y = dfrac {e ^ {2x} -e ^ {- 2x}} {x} $
=> $ y ‘= dfrac {(e ^ {2x} -e ^ {- 2x})’. x- (e ^ {2x} -e ^ {- 2x}). x ‘} {x ^ 2} $
=> $ y ‘= dfrac {[(e ^ {2x})’ – (e ^ {- 2x}) ‘]. x- (e ^ {2x} -e ^ {- 2x}). 1} {x ^ 2} $
=> $ y ‘= dfrac {[2.e ^ {2x} – (- 2) .e ^ {- 2x}]. x- e ^ {2x} + e ^ {- 2x}} { x ^ 2} $
=> $ y ‘= dfrac {[2.e ^ {2x} +. e ^ {- 2x}]. x- e ^ {2x} + e ^ {- 2x}} {x ^ 2} $
d. $ y = 3. (x ^ 2 + x + 2) .e ^ {3x} $
Với hàm này, chúng ta thấy tích của số 3 và các đa thức $ x ^ 2 + x + 2 $ và $ e ^ {3x} $. Bởi vì 3 là một hằng số, chúng tôi giữ hệ số ở mức 3 khi tính đạo hàm của một hàm dạng này.
Xem thêm: Thì tương lai đơn – Lý thuyết, dấu hiệu và bài tập
Chúng tôi có:
$ y = 3. (x ^ 2 + x + 2) .e ^ {3x} $
=> $ y ‘= 3. [(x ^ 2 + x + 2)’. e ^ {3x} + (x ^ 2 + x + 2). (e ^ {3x}) ‘] $
=> $ y ‘= 3. [(2x + 1) .e ^ {3x} + (x ^ 2 + x + 2). (3x)’. e ^ {3x}] $
=> $ y ‘= 3. [(2x + 1) .e ^ {3x} + (x ^ 2 + x + 2) .3.e ^ {3x}] $
=> $ y ‘= 3. [2x. .e ^ {3x} + e ^ {3x} + 3x ^ 2.e ^ {3x} + 3x.e ^ {3x} + 6e ^ {3x} ] $
=> $ y ‘= 3. [5x.e ^ {3x} + 7.e ^ {3x} + 3x ^ 2.e ^ {3x}] $
e. $ y = 2 ^ {1-2x} $ (đạo hàm của hàm được áp dụng $ a ^ u $)
Xem thêm: Thì tương lai đơn – Lý thuyết, dấu hiệu và bài tập
Chúng tôi có:
$ y = 2 ^ {1-2x} $
=> $ y ‘= (1-3x)’. 2 ^ {1-2x} .ln2 $
=> $ y = -3. 2 ^ {1-2x} .ln2 $
f. $ y = e ^ {2x + x ^ 2} $ (đạo hàm của hàm được áp dụng $ e ^ u $)
=> $ y ‘= (2x + x ^ 2)’. e ^ {2x + x ^ 2} $
= & gt; $ y ‘= (2 + 2x) .e ^ {2x + x ^ 2} $
Một ví dụ cơ bản về cách tính đạo hàm của một hàm số mũ, nhưng sẽ giúp bạn hiểu công thức và cách áp dụng nó. Ngoài ra, bài giảng này còn giúp các bạn ôn tập cách tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp như: đạo hàm của tích, đạo hàm của thương, đạo hàm của hàm lượng giác, hàm căn …
Xem thêm: Tổng hợp tất cả công thức môn Vật lý lớp 9 theo từng chương
